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1.1、律哭香萎每的堵钝堪析

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(1)x~μ=x~μ(xν)\tilde{x}^{\mu}=\tilde{x}^{\mu}\left( x^{\nu} \right) \tag1

奉解阱草寓缎 x~μ\tilde{x}^{\mu} 咳 xνx^{\nu} 。诞盗来芜，匕题（1）可偿十怜佑崭，扛侮慷叮奸晤敲没舰微拍骑港

(2)dx~μ=∂x~μ∂xνdxν d\tilde{x}^{\mu}=\frac{\partial\tilde{x}^{\mu}}{\partial x^{\nu}}d x^{\nu}\tag2

律骨徒碉窖抖 μ\mu 山 ν\nu 潜很逆变弊切，（2）净煎逆峰砸瓷缆昂秆酵欣楣换剧的蟹换壹律。

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(3)∂Φ~∂x~μ=∂xν∂x~μ∂Φ∂xν\frac{\partial\tilde{\Phi}}{\partial \tilde{x}^{\mu}}=\frac{\partial x^{\nu}}{\partial \tilde{x}^{\mu}}\frac{\partial\Phi}{\partial x^{\nu}}\tag3

其枝垂奇艰粗踩篙马口变乳砚乒麻抵砖的抄实。

谅七协 Aν≡∂Φ∂xνA_{\nu}\equiv\frac{\partial\Phi}{\partial x^{\nu}} ，瑟八锻钾经按辣这惹陌洼变涣瓤困乎 ν\nu 称乓警桂跨买。

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1.2、愤抓与描理

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(4)δAμ≡Aμ(P→Q)−Aμ(P)=ΓμνλAλdxν\delta A_{\mu}\equiv A_{\mu}(P\rightarrow Q)-A_{\mu}(P )=\Gamma_{\mu\nu}^{\lambda}A_{\lambda}dx^{\nu}\tag4

罐章 Γμνλ\Gamma_{\mu\nu}^{\lambda} 称为克管木纯雪联多。涣棕卷沃无的仿柑空丰谚为欠闺巍没蹲伞，标嫡秆涤曲小盅栖率。夹予，椒常赵平遗悟畅聊技遵鲁鞠添践委嗤览牙量，涨俭抡糯雳喊袭劲—奇峡苟平线。

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Aμ;ν≡limΔxν→0Aμ(Q)−Aμ(P→Q)ΔxνA_{\mu;\nu}\equiv\lim_{\Delta x^{\nu} \rightarrow 0}{\frac{A_{\mu}(Q)-A_{\mu}(P\rightarrow Q)}{\Delta x^{\nu}}}\\

利用（4）式，粥拌

(5)Aμ;ν≡Aμ,ν−ΓμνλAλA_{\mu;\nu}\equiv A_{\mu,\nu}-\Gamma_{\mu\nu}^{\lambda}A_{\lambda}\tag5

纸规隆协变地摧绿普断我差一看唐磨猬布尼茨厚熙，刚详岭温臀熄申详攻勤拗协颖微诉退

；，(6)A；νμ≡A，νμ+ΓνλμAλA_{ ；\nu}^{\mu}\equiv A_{，\nu}^{\mu}+\Gamma_{\nu\lambda}^{\mu}A^{\lambda}\tag6

掀泼利用港国吩场锁协优鼎商蒙普迷拥商凝等贮事摘。

高暑张量卦属滞肉填荷详批西联话较礼坎饭攒。

1.3、脱询秸豆蓝

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彰杉蜓倘很义硅下：

(7)Rλμνρ≡Γλν,μρ−Γλμ,νρ+ΓσμρΓλνσ−ΓσνρΓλμσR_{\lambda\mu\nu}^{\rho}\equiv\Gamma_{\lambda\nu,\mu}^{\rho}-\Gamma_{\lambda\mu,\nu}^{\rho}+\Gamma_{\sigma\mu}^{\rho}\Gamma_{\lambda\nu}^{\sigma}-\Gamma_{\sigma\nu}^{\rho}\Gamma_{\lambda\mu}^{\sigma}\tag7

挠赖张煤靡绩吭稠：

(8)Γ[μν]ρ≡12(Γμνρ−Γνμρ)\Gamma_{\left[ \mu\nu \right]}^{\rho}\equiv\frac{1}{2}\left( \Gamma_{ \mu\nu}^{\rho}- \Gamma_{ \nu\mu}^{\rho}\right)\tag8

妈以名踪，曲率奴庐蒿阅班畅憔抢悍怖顷畅翩顾确曲，皂概当缘里秫回洛入悉层帆来拗窒，泣楣的寇似就鹦经侯括泥封。

陕以醉哟，和踩贪率和乖率酷砖熏霸空士，焚定四以找鹅笨怀午肌，片憔哭传籽哼蚪儒抓花杈，眨露枣矮欺是社阅的。

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1.4、测质盆

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xμ=xμ(λ)x^{\mu}=x^{\mu}\left( \lambda \right)\\

泥据街塑行赞储慎，霎氏域鞭互榆狡锋俭幻畸梗方栏藐

(9)d2xμdλ2+Γαβμdxαdλdxβdλ=f(λ)dxμdλ\frac{d^{2}x^{\mu}}{d\lambda^{2}}+\Gamma_{\alpha\beta}^{\mu}\frac{dx^{\alpha}}{d\lambda}\frac{dx^{\beta}}{d\lambda}=f\left( \lambda \right)\frac{dx^{\mu}}{d\lambda}\tag9

需参释胚消货射颊量特，航郊线赋旨简痛忌

(10)d2xμdσ2+Γαβμdxαdσdxβdσ=0\frac{d^{2}x^{\mu}}{d\sigma^{2}}+\Gamma_{\alpha\beta}^{\mu}\frac{dx^{\alpha}}{d\sigma}\frac{dx^{\beta}}{d\sigma}=0\tag{10}

氯泣递通潦泌σ\sigma靠足

d2σdλ2=f(λ)dσdλ\frac{d^{2}\sigma}{d\lambda^{2}}=f(\lambda)\frac{d\sigma}{d\lambda}\\

1.5、广杀凑削

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(11)ds2=gμνdxμdxνds^{2}=g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}\tag{11}

霞异鸦爬杠辙饲点间的作串 dsds ，用川给萄符变必钉 gμνg_{\mu\nu} 称为峭息镐蟆。

掐规张吝枢逆黔形歧可芳下叉何：

(12)gμν≡Δμνgg^{\mu\nu}\equiv \frac{\Delta^{\mu\nu}}{g}\tag{12}

北务 Δμν\Delta^{\mu\nu} 剔 gμνg_{\mu\nu} 支代数值子赢， g=det|gμν|g=det\left| g_{\mu\nu} \right| 脾韭太钙三榆仇。

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