【射影几何】——再看调和分割

1.射影几何提出的背景：中心投影及其修正

2.扩大的欧氏平面，射影平面

*3.关联 和 把

*4.射影和截影

5.点和线的齐次坐标，及其对偶性

6.对偶原理

7.Desargue定理及其对偶定理（逆定理）

其中，对于齐次坐标，我们稍微回顾一下。

对于射影平面的通常点的齐次坐标，可以对应非齐次坐标

对于无穷远点，齐次坐标可以表示为

类似地，对于线坐标

无穷远直线也可以表示为

引言

每一种几何学都是主要研究属于其自己的变换群下的不变量的。

本文就来为大家揭开射影几何中的一个重要不变量——交比

同时，再介绍一下一种不变的特殊情形——调和分割

点列的单比和交比

点列的单比

我们首先定义点列的单比

对于同一直线上三个点，我们定义单比

其中的线段长度均为有向线段的长度。那么，我们显然有在之外等价于；在之间等价于

这个记号来的可能并不是那么方便，所以读者可以选择性忽略这个记号，因为单比不是重头戏。（但是单比在仿射几何中很重要）

这里我们介绍一个重要的定理：

定理1：一条直线上的无穷远点分其上任何两点的单比均为

证明：我们取直线上的两点和直线上任意一点，

设单比，则

将的坐标改写为齐次坐标，也就是

所以

点列的交比

交比，也称为复比

我们先对点列定义交比。对于同一直线上的四个点，我们按顺序定义点列的交比（我们有时候也用点列的符号表示它的交比）

定义1：（点列的交比）

我们发现，在交比中，四个点是成对出现的。我们将其称之为两个点对（或者点偶）。

那么直观上我们就可以看到，交比的符号就反应了两个点对的相对关系：

命题1：交比等价于点对分离点对，反之，则点对不分离点对。如图：点对之间的分离关系

四个点的排列方式共有种，这些排列方式对应的交比总共有多少种可能呢？

我们通过下面几条性质可以说明：（证明留给读者）

性质1.1：点对之间调换顺序，交比不变，即：性质1.2：调换其中一个点对内的顺序，交比变为倒数，即：性质1.3：将点列的外侧两点顺序调换，交比变为1与原交比的差，即：

根据这三条性质，我们很容易导出这种排列所对应的所有交比。

如果我们知道，则

当然这个东西不需要去记忆，因为你只要记住了上面三条性质，那么这二十四个交比还不是信手拈来？

这里我们再来谈一下我们射影几何的一大特色——无穷远元素。

根据定理1和交比的定义，我们知道，如果点列中存在无穷远点，那么：

命题2：

交比是点列的一个重要性质，只要我们知道交比和点列的三个点，那最后一个点的位置就是唯一确定的。

线束的交比

我们熟知，点列和线束是对偶图形。共线点列的对偶图形自然是共点线束。换句话说，我们可以将点列和线束进行一个一一对应。那么我们能不能让线束也具有一些类似点列的交比的量呢？或者说，能不能通过交比，实现点列和线束的一一对应呢？

在上图中，我们将点列对应的线束记做

我们尝试去考虑是否能定义线束的交比和这个点列的交比相同呢？

如果真的可以，那么就代表，我固定这个线束以后，再去找一条直线，截出来的点列交比不变。

用几何画板算了一下交比。诶，用点列的交比去定义线束的交比似乎真的可行？！

那事情一下子就变得好办了起来，我们只需要证明，

定理2：对于确定的线束，过其交点之外的一条直线所截的点列的交比是定值！

怎么证明呢？正弦定理为我们提供了一种可能！

首先，

结合正弦定理：,

和，

得到

为了和点列的交比符号对应，我们将上述的角度全部记做有向角。如表示绕旋转至的角度，逆时针为正，顺时针为负。

根据上述讨论，我们可以将线束的交比记做

定义2：（线束的交比）

同样地，我们可以反过来应用正弦定理，发现的值与其所在线束的位置无关，只要它们四点共线，这个交比就恒为定值。

注：定理2也可以采用齐次坐标的方法来证明，证明留作思考。

提示：线束的特征是四线共点。如何采用齐次坐标刻画三线共点？如果想不出来可以先思考一下如何用齐次坐标刻画三点共线。

偷工减料，继续用这张图

我们如果把这个过程看做一个一维空间到一维空间的中心投影。

以为中心，将点列所在的直线到点列所在的直线进行中心投影。这个过程中，点列的交比是不改变的。因此，我们可以说交比是射影不变量！

调和点列与调和线束

在阅读本文之前，或许读者多多少少已经接触过调和点列了。锐腾君自己最早是在自己的第二篇文章——Pascal定理的文章中开始使用的。

王锐腾-return：【圆锥曲线】帕斯卡(Pascal)定理及以其为构型的题目选讲zhuanlan.zhihu.com

当时，部分读者对调和点列的理解可能还停留在

槿灵兮

同学的《调和配极、完全四边形——律动的数字音符~》一文中的定义

引用槿灵兮同学一文

而锐腾君本次更新射影几何系列，就是想带各位重新了解一下这一套体系。

我们在第一谈中已经定义了无穷远点，本谈中又定义了交比。我们换一个方式去叙述调和点列。

定义3：对于共线四点。若，我们称点列是一组调和点列

。

其中任何一点都是其余三点的调和第四点。我们也称点对调和分割点对，也称关于调和共轭。（其实只要知道调和点列就好了，这里只是多了几个不是很必要的名字）

特殊地，当为无穷远点时，若，利用命题2，我们立得是的中点。

与之对偶地，我们同样也有调和线束的概念：

定义4：对于共点四线，若，我们称线束是一组调和线束

。

同样地，其中任何一线都是其余三线的第四调和线。线对调和分割线对，也称关于调和共轭。（自然，这部分也是多几个不是很必要的名字）

与上面对应地，如果是的角平分线（类比中点）。那么就是的外角平分线。

我们知道，任何一条截线截线束四点，它们的交比等于线束的交比。我们有如下定理：

定理3：过调和线束交点外的任何一条截线，截出一组调和点列。

利用对偶原理，我们也有

定理3的对偶定理：过调和点列所在直线外一点的任何一点，引出这四点的线束都是调和线束。

调和点列和调和线束的几何性质

性质2.1：在调和点列中，性质2.2：在调和点列中，是的中点，则性质2.3：在调和点列中，是的中点，则性质2.4：在调和点列中，是的中点，则性质2.5：在调和点列中，是的中点，则性质2.6：在调和点列中，是直线上任何一点，则

以上线段皆为有向线段，此外，我们还有：

性质2.7：在中，若分别是的内、外角平分线，则是调和点列。

这一系列性质都是比较平凡的，所以这里不给出证明。

还有一些和反演相关的调和分割的性质暂时先不加以介绍。但有一个笔者觉得还是有必要介绍一下。

性质3.1（Apollonius圆）到定点的距离为定值的点的轨迹为一个圆。此图中，P0和P是关于圆O的反演点

证明：设落在直线上时，有两个特殊点轨迹为。

则显然是一组调和点列。

结合，知是的内，外角平分线。

因此，证毕。

神奇的无穷远点

我们引入的无穷远元素，它又平凡又特殊。

到现在为止，我们已经知道它的这些性质

性质4.1：两个通常点与无穷远点构成的单比性质4.2：三个通常点与无穷远点构成的点列交比等于这三个通常点的单比性质4.3：三个通常点与无穷远点构成的调和点列中，与无穷远点构成点对的另一点是另一个点对的中点。

以及，我们还有一个关于无穷远点的另一个重要性质：

性质4.4：两条直线相交于无穷远点等价于它们平行。

这个说法并不是那么严谨，因为射影几何中没有“平行”这个概念。所以平行这个概念我们得从其他几何体系（如欧式几何）中引入。

我们利用齐次坐标来进行证明：

对于欧氏平面的平行直线

我们知道

将欧氏平面的点改写为齐次坐标

那么在射影平面上，这两条扩大的直线就是

将的方程两边同时乘，将的方程两边同时乘，得

两式相减，即得

注意到（否则，欧氏平面的重合）

故

因此相交于无穷远点

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