从经典代数几何到现代代数几何——层与概形的上同调理论第五篇：射影空间的上同调

写在前面：小编今天依然处于外出旅游的状态 , 故和昨天一样 , 提前准备了代数几何的文章（昨天第四篇今天第五篇）给读者们 , 希望读者能喜欢 . 附上两张风景旅游照吧！

现代代数几何的讨论对象是层与概形 , 那自然离不开上同调这一重要的工具 , 本文是代数几何专题中的层与概形的上同调理论第五篇 , 主要内容是射影空间的上同调, 原文源于 Hartshorne 的经典著作《代数几何》 , 更多精彩内容请关注：

射影空间的上同调

在上一篇文章《从经典代数几何到现代代数几何——层与概形的上同调理论第四篇：Čech 上同调》中的一些结果意味着对于可分离 Noether 概形而言 , 上同调原则上都是可计算的 , 但事实上除了一些好的情形外其他的情形难以实现 , 故本文则是对一个恰当的仿射开覆盖用 Čech 上同调来显式地计算射影空间上的层 的上同调 , 事实上这些计算是关于射影簇上的凝聚层的上同调的各种广泛结果的基础 .

设 是一个 Noether 环 , 是分次环 , 是 的射影空间 , 令 为 Serre 扭变层 , 对任意 -模层 , 用 表示分次 -模 , 这些符号的规定可以参考《从经典代数几何到现代代数几何——概形理论第五篇：模层(上)》和《从经典代数几何到现代代数几何——概形理论第六篇：模层(下)》 , 故我们有下面的定理 .

定理1：设 是 Noether 环 , 为 上的射影空间 , 其中 , 则有

(i) 自然映射 是分次 -模之间的同构 ;

(ii) , 其中 以及所有的 ;

(iii) , 其中 , 而 为典则层 ;

(iv) 下面的自然映射

对每个 是有限生成自由 -模之间的完全配对 , 即为非退化的 -双线性 , 其中 .

证明：令 为拟凝聚层 , 由于在 Noether 拓扑空间中上同调与任意直和可交换 , 故 的上同调必为层 的上同调的直和 , 于是接下来要计算 的上同调 , 但需要用 来表示分次 , 这样就可以把各个部分分离出来 , 事实上问题中的所有上同调群均有自然的 -模结构 .

对每个 , 令 为开集 , 则每个 为 的仿射开集且 覆盖 , 故根据《从经典代数几何到现代代数几何——层与概形的上同调理论第四篇：Čech 上同调》中的定理5可知 , 我们可以用开覆盖 的 Čech 上同调来计算 的上同调 , 于是对任意指标集 , 开集 正好是 , 进而根据《从经典代数几何到现代代数几何——概形理论第六篇：模层(下)》中的命题11可知 , , 其中 为 对 的局部化 , 且 的分次在上述同构意义下对应于 的自然分次 , 因此 的 Čech 复形由 给出 , 那么所有这些模都有自然分次且与 的分次相对应 , 此时上式中第一个映射的核为 , 根据《从经典代数几何到现代代数几何——概形理论第六篇：模层(下)》中的命题13可知 , , 因此(i)得证 .

接下来证明(iii) . 考虑 是上面的 Čech 复形的最后一个映射的余核 , 即 , 其中 是以 为基的自由 -模 , 而 且 , 则 的象是由至少有一个 的那些基中的元素 生成的自由子模 , 故 是由那些负单项式 为基的自由 -模且以 , 而次数为 的这种负单项式只有一个 , 因此 是秩为 的自由 -模 , 即 , 这里 为典则层 , 即(iii)得证 .

然后证明(iv) . 注意到当 时由(i)的结果可知 , 以及当 -r-1" data-formula-type="inline-equation" style=""> 时没有次数为 的负单项式存在 , 故 , 于是如果 , 那么(iv)的结果是 trivial 的 , 而当 时 是以通常的 次单项式 为基 , 于是从 到 的自然映射与 的自然配对是由 所决定 , 其中 , 事实上上式的右边只要有一个 就为零 , 因此就得到了一个完全配对使得 的对偶基为 , 即(iv)得证 .

最后我们来证明(ii) , 使用对 的归纳假设的方法 , 当 时结果是 trivial 的 , 而当 1" data-formula-type="inline-equation" style=""> 时 , 如果将复形 对 作局部化并作为分次 -模就得到了 在空间 上对于仿射开覆盖 的 Čech 复形 , 根据《从经典代数几何到现代代数几何——层与概形的上同调理论第四篇：Čech 上同调》的定理5可知 , 这个 Čech 复形给出了 在 中的上同调 , 再根据《从经典代数几何到现代代数几何——层与概形的上同调理论第三篇：Noether 仿射概形的上同调》中的定理5可知 , 对于所有的 0" data-formula-type="inline-equation" style=""> 有 . 由于局部化是正合函子 , 故对 0" data-formula-type="inline-equation" style=""> 有 , 此时 中的每个元素都被 的某次幂零化 .

为了完成(ii)的证明 , 我们还需要证明当 时以 相乘诱导了 到自身的一一映射 , 从而推出这个模为零 . 考虑分次 -模的正合序列 , 它给出了 上层的正合序列 , 其中 为超平面 , 然后对所有的 作扭变并取直和后得到 , 其中 , 再作用上同调函子就得到了长正合序列

如果将 看作分次 -模 , 那么它正好是 移动了一位 , 而正合序列中的映射 正是乘以 的映射 .

现在由于 同构于 , 故根据《从经典代数几何到现代代数几何——层与概形的上同调理论第二篇：层的上同调》中的命题1可知 , , 于是可以对 使用归纳假设的方法就可以得到当 有 成立 , 注意到当 时由(i)可知 , 存在正合序列 , 而此时 , 另一方面在正合序列的另一端有 , 其中 是以 的负单项式为基的自由 -模 , 故 为满射 . 事实上 的核是 中由所有的 的负单项式 生成的自由子模 , 且 是以 的负单项式为基自由 -模 , 以及 又是除以 的映射 , 从而这个序列是正合序列且 是单射 . 因此将上面的这些结果合在一起 , 这个上同调的长正合序列表明乘以 的映射 在 时为所需要的一一映射 , 因此(ii)证毕 .

定理2( Serre 定理)：设 为 Noether 环 上的一个射影概形 , 为 上对于 的一个极丰沛可逆层(极强可逆层) , 再令 是 上的一个凝聚层 , 则

(i) 对每个 有 是有限生成 -模 ;

(ii) 存在依赖于 的整数 使得对每个 0" data-formula-type="inline-equation" style=""> 和每个 有 .

证明：由于 是 对于 的极丰沛层(极强层) , 故根据《从经典代数几何到现代代数几何——概形理论第六篇：模层(下)》中的定义9下面作出的说明可知 , 存在某个 和在 上的闭嵌入映射 使得 , 当 是 上的凝聚层时 为 上的凝聚层 , 其中 是 Noether 概形上的有限型态射且根据《从经典代数几何到现代代数几何——层与概形的上同调理论第二篇：层的上同调》中的引理10可知 , 它们有相同的上同调 , 即 , 于是定理转化为 的情形 . 在这种情形下结论(i)和(ii)对形如 的层是成立的 , 其中 , 这一点可以由定理1则的显式计算得到 , 因此对这些层的有限直和也是成立的 .

要证明对任意凝聚层的情形定理成立 , 我们需要对 进行从上往下归纳 . 当 r" data-formula-type="inline-equation" style=""> 时由于 可以被 个开仿射子集覆盖 , 故有 , 这就是概形 的上同调维数 的定义 , 即对所有拟凝聚层 以及所有的 n" data-formula-type="inline-equation" style=""> 使得 的最小整数 , 事实上这种情形是显然的 . 一般地如果给出 上的一个凝聚层 , 那么根据《从经典代数几何到现代代数几何——概形理论第六篇：模层(下)》中的推论18则可以把 表示为一个层 的商层 , 其中 是 对各个整数 的有限直和 , 令 为 的核 , 即 , 那么 也是凝聚层 , 于是可以得到一个 -模正合序列

现在根据 是 的直和可知 是有限生成 -模 , 而由归纳假设的方法可以推出 也是有限生成 -模 , 由于 是 Noether 环 , 故 是有限生成 -模 , 因此(i)得证 .

为了证明(ii) , 我们作扭变并构造出下面的长正合序列

当 为充分大时由于 为 的直和 , 故 , 而由归纳假设的方法可知 , 于是 . 另一方面由于结论(ii)仅涉及有限个 , 即 , 故只需分别对每个 确定一个 即可 , 因此(ii)得证 .

我们来对定理2作一些说明 , 事实上作为结论(i)的特殊情形 , 对 上的任意凝聚层 有 是一个有限生成 -模 , 这是对《从经典代数几何到现代代数几何——概形理论第六篇：模层(下)》中的定理19的一个推广并给出了新的证明 .

作为应用 , 下面我们给出《从经典代数几何到现代代数几何——概形理论第十一篇：射影态射(2)》中的定理6——可逆层为丰沛层(强层)的一个上同调判别方法 .

命题3：设 是 Noether 环 , 为 上的本征概形 , 为 上的一个可逆层 , 则下面的条件等价

(i) 为丰沛层(强层) ;

(ii) 对 上的每个凝聚层 , 存在依赖于 的整数 使得对每个 0" data-formula-type="inline-equation" style=""> 和每个 有 .

证明：(i) (ii) .  如果 为 上的丰沛层(强层) , 那么根据《从经典代数几何到现代代数几何——概形理论第十一篇：射影态射(2)》中的定理6可知 , 对某个 0" data-formula-type="inline-equation" style=""> 有 为 上对于 的极丰沛层(极强层) , 再根据《从经典代数几何到现代代数几何——概形理论第六篇：模层(下)》中的定义9下面作出的说明可知 , 由于 对于 为本征概形故必为射影概形 . 现在将定理2应用于 , , , , 就得到了结论(ii) , 即分别存在 使得当 时有 , 故在 时有 , 其中 0" data-formula-type="inline-equation" style=""> , 类似的证明技巧可以参考《从经典代数几何到现代代数几何——概形理论第十一篇：射影态射(2)》中的命题5 .

(ii) (i) . 为了证明 为丰沛层(强层) , 则需要证明对于 上的任意凝聚层 , 存在一个整数 使得当 时 是由整体截影生成的层 , 事实上这是《从经典代数几何到现代代数几何——概形理论第十一篇：射影态射(2)》中的定义1——丰沛层(强层)的定义 . 接下来给定层 , 设 为 的一个闭点 , 为闭点集 的理想层 , 故有正合序列 , 其中 为摩天大楼层 , 于是以 作张量积得到正合序列 , 进而根据条件(ii)的假设可知 , 存在 使得 有 , 因此 对所有的 均为满射 . 然后由局部环 上的 Nakayama 引理可以得到 在点 处的茎是由整体截影生成的 , 又由于 为凝聚层 , 故对每个 存在 的依赖于 的开领域 使得层 的整体截影在 中的每个点均可以生成这个层 .

特别地如果取 , 那么可以找到整数 和点 的开邻域 使得 是由 上的整体截影生成 , 另一方面对每个 , 上面的论断给出了点 的邻域 使得 是由 上的整体截影生成 . 现在令 , 故在 上对 有所有的层 均由整体截影生成 , 事实上热，任意这样的层可以写为张量积的形式 , 其中 和 .

最后用有限个开集 覆盖 且 为一些闭点 , 并令 是对应于那些闭点 的 的最大数 , 因此 在 时由整个 上的整体截影生成 , 这就完成了证明 .

参考文献和推荐阅读：

Robin Hartshorne . Algebraic Geometry . Graduate Texts in Mathemarics . Springer . Vol . 52

您的点赞与关注是我们坚持不懈的动力:

由于微信平台算法改版，公号内容将不再以时间排序展示，如果您想第一时间看到我的推送，强烈建议星标我的公众号。星标具体步骤为：在公众号主页点击右上角的小点点，在弹出页面点击“设为星标”，就可以啦。感谢您的支持！