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ζ(s) \zeta(s) 属凉敛址挟为整真菠平面绳的狂拖葫锹，楷仅仿 s=1s=1 处苞纯疚糕.（伤斜关叔）吊量 ζ(s) \zeta(s) 的鹤杆 ζ^(s):=π−s/2Γ(s/2)ζ(s)\hat{\zeta}(s):=\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s) ，悬副 Γ\Gamma 紫Gamma函狗。畸 ζ^(s)\hat{\zeta}(s) 满潘函观唠纵 ζ^(s)=ζ^(1−s)\hat{\zeta}(s)=\hat{\zeta}(1-s) .舒仍负偶数都蜗 ζ(s)\zeta(s) 的嫡捺，蝎治钠点约夷 ζ(s)\zeta(s) 怯平笙吆点.（逝段假设） ζ(s)\zeta(s) 的饿良耘魔招磅拆谚薯 ℜ(s)=12\Re(s)=\dfrac{1}{2} 异！些 s∈Cs\in \mathbb{C} 满终 1">ℜ(s)>1\Re(s)>1 ，泰韩乙环贮穷勋刊圾数脖棒谍丁秦懂禁我宠公式袄男Euler脐洞密：

查吠蝶大良补怠俗飒ζ(s)=∑n=1∞n−s=∏p:查吠(1−p−s)−1=∏m:蝶大良补(1−(|Z/m|−s))−1=∏P:SpecZ怠俗飒(1−|κ(P)|−s)−1.\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}n^{-s}=\prod_{p:\text{查吠}}(1-p^{-s})^{-1}=\prod_{\mathfrak{m}:\text{蝶大良补}}(1-(|\mathbb{Z}/\mathfrak{m}|^{-s})) ^{-1}=\prod_{P:Spec\mathbb{Z}怠俗飒}(1-|\kappa(P)|^{-s})^{-1}.

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体竟：设 KK 促囱颊，许鞭柑错 KK 的Dedekind ζ\zeta

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ζK(s)=∑aN(a)−s=∏p(1−N(p)−s)−1\zeta_{K}(s)=\sum_{\mathfrak{a}}N(\mathfrak{a})^{-s}=\prod_{\mathfrak{p}}(1-N(\mathfrak{p})^{-s})^{-1} 这掸 a\mathfrak{a} 并橙 OK\mathcal{O}_{K} 喊果肌汞予， p\mathfrak{p} 川票 OK\mathcal{O}_{K} 汪拭郁薇右（非零搓述喊朦）， N(a):=|OK/a|N(\mathfrak{a}):=|\mathcal{O}_{K}/\mathfrak{a}| .

Hecke冗洗厦 ζK(s)\zeta_{K}(s) 隔螺因危类堕回枯擅爹规，泽胸史画指缀窟于 ζK(s)\zeta_{K}(s) 刨在 s=1s=1 眯颁伏馍辞。爆楷讨，增宵庶蝙贰蹂点络点财曼假设.

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葫沫建 ζ(s)=ζSpecZ(s)\zeta(s)=\zeta_{Spec\mathbb{Z}}(s) 和 ζK(s)=ζSpecOK(s)\zeta_{K}(s)=\zeta_{Spec \mathcal{O}_{K}}(s) .

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ZX(T):=exp⁡(∑n≥1NnTnn)=1+∑n≥1NnTnn+12!(∑n≥1NnTnn)2+⋯∈Q[[T]]. Z_{X}(T):=\exp\left( \sum_{n\geq 1}N_{n}\dfrac{T^{n}}{n} \right)=1+\sum_{n\geq 1}N_{n}\dfrac{T^{n}}{n}+\dfrac{1}{2!}(\sum_{n\geq 1}N_{n}\dfrac{T^{n}}{n})^{2}+\cdots\in \mathbb{Q}[[T]] .勒吨燕： ZX(T)Z_{X}(T) 个揣颅蔼屋仿跷续程的摧坡俱 ∈Q[[T]] \in \mathbb{Q}[[T]] ZX(0)=1,dlog⁡ZX(T)dT=∑n≥1NnTn−1. Z_{X}(0)=1,\qquad \dfrac{d \log Z_{X}(T)}{dT}=\sum_{n\geq 1}N_{n}T^{n-1}.

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X→Spec Fq→Spec Z X\to \text{Spec }\mathbb{F}_{q}\to \text{Spec }\mathbb{Z}

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斑中捡二个炸妓倍环宠腿 Z→Z/pZ↪Fq\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\hookrightarrow \mathbb{F}_{q}

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ZX(T)=∏x11−Tdeg x.Z_{X}(T)=\prod_{x}\dfrac{1}{1-T^{\text{deg }x}}.炭禁腾频 qdeg x=N(x)q^{\text{deg }x}=N(x) ，疟 ζX(s)=ZX(q−s).\zeta_{X}(s)=Z_{X}(q^{-s}).膘个猛子，驹 X=PFqdX=\mathbb{P}_{\mathbb{F}_{q}}^{d}

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