壬子癸丑学制中学校平面几何教科书内容一览表

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内容

绪论

几何学定义：也称为形学，物体有形有质，几何研究其形，形占的空间叫做体，体的镜面叫做面，面的镜面叫做线，线的镜面叫做点，绘图穷理是几何学的本质；平面几何学、立体几何学、定义的定义；点、线、面、体（立体）、直线（今天的直线）、有限直线（今天的线段）和延长线（今天的射线）、平面、圆形、平面圆形的定义；公理（专属几何学）、普通公理（不专属几何学）的定义并给出公理；定理、系、作图题的定义

第一篇 直线

第一章 平面角

平面角的定义；旋转角的定义；共轭角定义、劣角与优角；接角；平角的定义且平角都相等，直角的定义且直角都相等；垂线与正交点（相当于现在的垂足）；锐角、钝角；互为余角和互为补角；国直线上一点只能作一条垂线、等角的余角和补角都相等；一直线立于他直线之上所成两接角之和比等于两直角；由一点引若干直线，各与其邻之直线成角，合之必等于四直角；一直线与两直线所成两接角之和若等于两直角，则这两直线可以接成一条直线；相交两直线所成对向之角为对顶角、对顶角相等；三线八角及其各自的名称；一直线与其他二直线相交，若两错角相等，其余两错角也一定相等；两错角行灯，其同侧的两内角互为补角

第二章 平面直线

平行线的定义；公理：过一点只能做一条直线与已知直线平行；一直线与两直线相交所成的错角相等，则两直线平行、同位角相等两直线平行、同侧之两内角互补两直线平行；一直线与两平行线相交，所成的错角相等、同位角相等、同侧的两内角互补；平行于同一直线的两直线互相平行；

平面形、平面直线形（简称直线形、多角形）、三角形定义；内角、外角、内对角、边的定义；正多角形、凸多边形定义；周（周长）、面积定义；四边形、五边形（或称四角形、五角形）定义；底边、顶角、顶点定义；二等边三角形的定义（等腰三角形）；全等三角形的定义；两边及其夹角相等的三角形全等；两角及夹边相等的两个三角形全等；等腰三角形等边对等角；三角形三边相等则三个角也相等；三角形等角对等边；三角形三角相等则三边也相等；三角形的外角等于两内对角之和，三角形三角之和等于两直角；三角形一角为钝角，其余两角位锐角；三角形一角为直角，其余两角各为锐角，且互为余角；过线外一点只能作一条垂线；两三角形有两个角相等，另一个角一定相等；直角三角形、锐角三角形、钝角三角形的定义；三角形大边对大角，小边对小角；三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；直线外一点引线到直线中垂线段最短，除垂线外垂线的两边两线段相等，垂线最为两线夹角的角平分线；垂线段的长叫做点到直线的距离；两个三角形两边等，夹角不相等，夹角大的对边大；两三角形两边等，对边大的夹角大；两角及其对边相等的三角形全等；三边相等的三角形全等；斜边和直角边相等的三角形全等；到相交线两边距离相等的点在两相交线夹角的角平分线上；凸多角形各内角之和再加四直角与其边数二倍乘直角相等；凸多边形各边顺次延长，所成各外角之和等于四直角

第四章 平行四边形

对边平行的四边形是平行四边形；平行四边形作对角线得两三角形，两三角形全相等，对边相等，对角相等；平行四边形邻角互补；平行四边形有一直角则各角都是直角；平行四边形的邻边相等则各边相等；平行四边形两对角线相交处互为二等分；平行四边形各角都是直角叫做矩形、各边都相等叫做菱形；矩形各边相等称为正方形；两平行线之间的垂线长称为两平行线之间的距离；对边相等或者对角相等或者一组对边相等且平行的四边形叫做平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；平行四边形的两邻边相等，且有一个角相等，则这两个平行四边形全等；矩形的两邻边相等则这两个矩形全等；一边相等的正方形全等；三角形中位线平行且等于第三边的一半（这个时候还没有中位线的定义）；过一边中点且平行于第三边则这一直线一定过另一边中点

第五章 轨迹

轨迹的定义、中垂线的性质和判定（这个时候还没有出现中垂线这个名称）；到相交直线距离相等的点的轨迹

第一篇之问题

三角形中垂线的交点叫做三角形的外心；三角形角平分线的交点称为内心；三角形傍心、垂心、中线、重心的定义

第二篇 圆

第一章 圆形性质

圆、直径、半径的定义；点与圆的位置关系；直径分圆为两个全等形；互为垂直的两直径比分圆为四个全等形；全圆为直径所分的两形各为半圆；半径相等的两个圆全等；同心圆定义；两圆重合则半径相等；重合的两个圆绕重心旋转两个圆仍然重合；两个同心圆半径不相等则不相交；两圆周相交必定不同心

第二章 圆心角

弧、共轭弧、优角弧、劣角弧、圆心角、扇形的定义；同圆或等圆中，相等的圆心角必立于等弧之上，不相等的圆心角大角立于大弧之上；同圆或等圆中，等弧对应等圆心角，大弧对应大圆心角

第三章 弦

弦的定义；割线、同圆或等圆中弦和弧对应相等关系；大弧之弦大于小弧之弦、弦与圆心角的对应关系、不共线的三个点确定唯一一个圆；大小两圆周相交只能得到两个交点；圆内某点至圆周所引各直线想等者多于两条，这个点一定是圆心；外切圆与外心的定义；同圆或等圆相等的弦到圆心的距离相等，弦长者距圆心近，近圆心者弦长

第四章 圆周角

弓形、优弓形、劣弓形、圆周角的定义；同弧对应的圆周角是圆心角的一半；同一弓形内所含的圆周角相等；半圆对应的周角来确定钝角、锐角、直角，可以有弓形跟半圆的关系确定，反之也成立；外接圆与内接多边形的关系，圆内接四边形对角互为外角；圆内接四边形每内角的外角等于内角所对的角，反之，四边形相对的角若互为外角，则四边形必可规取外接圆

第五章 切线

过圆周上一点只有当与半径成正交的直线不再与圆周相交，此外必交圆周于另一点；切线的定义；过圆周上一点只能作已知圆的一条切线；圆心避灾切点所立切线的垂线上；圆心引切线的垂线必交于切点；直线与圆心的距离比半径小或大或相等来定直线与圆相交、不相交还是相切；圆外一点只能引两条切线与此圆相切；由圆外一点引两切线必相等，由此点至圆心联成直线，必与两切线成相等之角；弦切角定理；

第六章 两圆之关系

两圆相切、内切、外切、相交的定义；两圆周的交点在两圆心的连接线则此两圆周除这一交点外更相交点，而称为外切或者内切，若果是外切，则两圆心的距离等于两半径之和，如果是内切，则两圆心的距离等于两半径的差值；两圆周相交的两个交点都不在两圆的连接线上；两圆相切，其圆心的连接线一定贯穿切点；两圆相切可于切点作公共切线，所以从切点作此圆半径的垂线，即为彼圆半径的垂线，所以所作的垂线为两圆公共的切线

第七章 内接外切

内接与外切的定义；凡正多角形平分各角的各直线必交于同一个点，此点距离各顶点相等，距离各边距离相等

第八章 轨迹

轨迹为圆的各题的方法讲解

第九章 作图题

尺规取线段中点、角平分线、垂线（点在直线上、点在直线外）、等角、作平行线、已知三边作三角形、已知两边及夹角作三角形、两角及夹边作三角形、两角及一对边作三角形、两边及一对角作三角形、将一圆弧二等分、既定圆周或者圆周上一段求圆心、不共线的三点画一个圆、圆周上一点作切线、圆外一点引切线、既定直线作弓形，令其所含之角等于既定角、由既定圆取弓形是所含角等于既定角、求作一切线使切线既定之两圆、作三角形的外切圆、作圆的内切三角形、作圆的外切三角形且其内角等于其已知三角形的内角、作正多角形的内接或者外切圆、作圆的内接或者外切正多角形*（三边、六边、十二边、二十四边）

第三篇 面积

第一章 定理

平行四边形的高和三角形的高的定义；平行四边形的面积求法，三角形的面积求法；同等登高的三角形顶点连线与底边平行；内分、外分、之分的定义；既定两直线所包的矩形必等于一直线之余一直线上任意诸分所包个矩形的和；两直线和的正方比各直线正方之和所大者，为两直线所包矩形的两倍；一直线内分为两份，则一直线的正方比各分正方形的和要大，为两分所包矩形的两倍；一直线的正方为有其半分所成正方形的四倍；二直线差的正方，比各直线正方的和还小，为二直线所包矩形的二倍；凡外分一直线为两分，则一直线的正方比各分正方形的和还小，为两分所包含矩形的两倍；二直线正方形的差即两直线的和与差所包的矩形；任取一点，将一直线内分或外分，其两分所包的矩形与由半直线上的正方形减去分点中点间距离的正方形相等；直角三角形斜边的正方等于其余两边正方之和；正射影的定义；钝角三角形钝角对边的正方大于剩下两边的正方之和，为一矩形的两倍，这个矩形由两边中的一边与其延长线上另一边的正射影相包而成；锐角三角形锐角对边的正方小于其余两边正方的和，为一矩形的两倍，这个矩形由两边中的一边和另一边在这边上的正射影相包而成；三角形两边正方之和等于半底边的正方及中线正方各两倍；任取一点将一直线内分或外分，其两分正方之和，等于半直线的正方及直线中点与分点之间距离所成正方各两倍；既定两直线额和及差各正方相拼，等于两直线正方和的两倍；任取一点，将圆内的弦内分或者外分，则两分所包的矩形等于半径的正方与由分点至圆心的距离所成的正方相减之余；圆弦上一点分弦所包的矩形面积相等；圆外外分弦得到的两线所包的矩形与此定点所作的切线的正方相等；外分弦所得两线所包的矩形若分点距圆周上一点的距离所成正方相等，则此距离一定是切线；由圆周一点引直线的垂线，内分直径为两分，其两分所包的矩形等于垂线的正方

第二章 作图题

求作平行四边形，令其积等于既定三角形，又令其任一角等于既定之角；在既定底边上作平行四边形令其积等于既定三角形，又令其任一角等于既定角；求作平行四边形，令其积等于既定直线形，又令任一角等于既定角；求作正方形令其积等于既定直线形；作直线形必可令其积等于既定直线形，而其边比既定直线形少一，以此递减边数，至最少为三角形，其积仍等于既定直线形；求既定直线内分为两分，又外分为两分，直线与一分所包之矩形，等于其余一分的正方；

第四篇 比例

第一章 比及比例

比、前项、后项的定义；比例个名称；反比与反转之理；更迭之理、合比之理、差比之理、加比之理、等比之理

第二章 基本定理

等高矩形之比等于其底边比；等高平行四边形的比等于底边比；等高三角形的比等于底边比；平行于三角形底边的线分两边成比例；于既定直线上内分又外分，各为两分，令各等于其任意所定之比，则各得一分点止，又任意所定比的两个量如果相等，则不能外分；若一直线令三角形的两边内分或外分且成比例，则此直线与底边平行；同圆或等圆中，中心角的比等于所对的弧的比；同圆或等圆中，扇形面积的比等于弧的比

第三章 相似直线形

等角形、对应、对应边、相似直线形的定义；两角相等夹边成比例的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似；两边对应成比例夹角相等的两个三角形相似；相似三角形对应边上各设相似形也相似；凡相似直线形各对应边依平行设置，由此形的顶点至彼形的顶点各连成直线，其各直线非互相平行，即交于一点，又由交点任作一直线，交对应两边，则直线上由点至交于对应两边的两交点，得到两距离，这两距离的比等于对应边之比；相似直线形可分为若干相似三角形；相似直线形的周长比等于对应边的比；相似直角三角形斜边垂线分原三角形为两对相似形；射影定理；由三角形顶点至其对边作垂线，与由定点所夹的两边配成比例式，其第四比例项必为三角形外切圆的直径；分三角形为二等分的直线即内分底边为两分，其两分之比必等于顶角所夹两边的比，又分顶角的外角为二等分的直线，即外分底边为两分，其两分的比等于顶角所夹的两边比，逆证之，内分或外分底边为两分，若两分的比等于夹顶角两边的比，则由分点至顶点所联直线即分顶角即其外角为二等分的直线；AC：CB为任意所定的比，若AB边内分或外分为两分，其两分之比等于AC：CB，则平分C角的直线必与AB内分点相交，平分C外角的直线必与AB外分点相交

第四章 面积

四直线成比例，其外项所包的矩形等于内项所包的矩形，逆证之，两矩形等积，其边必成比例，任以一矩形的边为外项，其余一矩形的边为内项；三直线成比例，其外项所包的矩形等于中项的正方，反之也成立；相似三角积的比等于对应边的二乘比；相似直线形的比等于其对应边的二乘比；相似直线形的比等于其对应边的正方比；四直线依次成比例，若于第一第二两直线上案相似的位置作相似形，又于第三第四两直线上按相似的位置作相似形，这样得到的四边形也称比例，反之也成立；两三角形或平行四边形有一个角相等，两积之比等于此形夹边之边比彼形夹角之边凡两比的相乘比；两三角形或者平行四边形有一角互为补角，两积的比等于此形夹角之边比彼形夹角之边凡两比之相乘比；各以直线为比，凡两比的相乘比等于两前项所包矩形与两后项所包矩形的比；两三角积或平行四边形的比等于两底两高各比的二乘比；直三角形直角所夹的两边按相似位置作相似直线形，两直角边的相似形面积和等于斜边直线形的面积；四边形对角线所包的矩形比其对边所包矩形的和小，只有当四边形可规合外切圆的时候才相等；四边形对角线所包的矩形等于其对边所包矩形的和，这个四边形必定可规合外切圆

第五章 轨迹及作图题

所设一点到相交两直线的比等于既定的比，求这点的轨迹；取既定的直线截作数分，令与他直线上既定的数分相应成相似；取既定直线内分又外分，所成两分的比等于既定的比；求既定三直线的第四比例项直线；求作既定两直线间的比例中项直线；求于既定直线上作一直线形，与他既定直线上所立既定的直线形相似，且在相似的位置；求作一直线形，令与既定两直线形，一等积，一相似