泛函分析笔记(Hilbert空间的基本概念,投影定理)

参考书目

[1]夏道行等.实变函数论与泛函分析(下册·第二版修订本).北京:高等教育出版社,2010

Hilbert空间

完备的内积空间称为Hilbert空间.

例1 设满足条件的数列全体按通常的线性运算所成的线性空间,当

例2 设(这里是代数)是定义在上的关于平方可积的函数全体(几乎处处相等的两个函数看作是同一个函数)按通常的线性运算所成线性空间,对于,规定

赋范线性空间成为内积空间的条件是范数满足平行四边形公式.

极化恒等式 当是内积空间, 是由内积导出的范数时,内积也可以用范数来表达.

当是实内积空间时,

当是复内积空间时,

引理3(平行四边形公式) 若是内积空间, 是由内积导出的范数,则对任何,成立

若,则引理3表示平行四边形对角线长度的平方和等于四边的长度的平方和.

定理2 设是一个赋范线性空间,其中的范数是.若对中任何元素,范数都满足平行四边形公式,则必可以在中定义内积,使是内积导出的范数.

定理1和定理2说明,赋范线性空间成为内积空间的条件是范数满足平行四边形公式.由此表明并非每个赋范线性空间都是内积空间.例如,当时,它就不是内积空间.

投影定理

引理1 设是内积空间, ,则是的闭线性子空间.

定理1 设是内积空间的线性子空间, ,若是在上的投影,则

引理2(变分引理) 设是内积空间中的完备凸集, .记为到的距离

引理3 设是内积空间, 是的线性子空间, , ,若,则.

定理2(投影定理) 设是内积空间的完备线性子空间,则对任何, 在上的投影唯一地存在.即存在使,且该分解是唯一的.

投影定理在一般的Banach空间中并不成立,这是因为一般情况下没有正交概念.

推论1 设是内积空间中的完备线性子空间,而且,则中有非零元素.

推论2 设是Hilbert空间, 是的线性子空间,则.特别地,若,则在中稠密.

实际问题中常有如下函数逼近论问题:对于给定的一个较一般的函数,研究用给定的个函数的线性组合来逼近,使得误差的平方平均最小.即例如,求一组一组数数,使误差

达到最小.这就是要研究:用次多项式逼近时,怎样的多项式使逼近的误差达到最小.误差达到最小的多项式称为按平方平均最佳逼近多项式.

例1(最小二乘法) 设是内积空间, 是中的个向量,要求出个数使得

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