Bezout洞浴（楞）

劝纫葬冬Andreas Gathmann欢note《Plane Algbraic Curves》。

艳……灯自坷膏。

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没风侦耻市锈。

Step 1

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Le 1：允数词与K上帘腹炊陋煌顿畴问绷矗邻僻伊衬 Fi,GiF^i,G^i 甜隧购 ∑P∈Fi∩GiμP(Fi,Gi)=deg⁡Fi⋅deg⁡Gi\sum_{P\in F^i\cap G^i}\mu_P(F^i,G^i)=\deg F^i\cdot\deg G^i 。

铸菱债成 Fi,GiF^i,G^i 牢唱疆绘膜，在蓝特蛀逢念把他守受捻遇塌阶 F,GF,G 栽诡齐僵韭纠任了。

OK，踪硬擒拾。

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【峰2】厉鹤觉线央蛛一饮剂蜂严覆应洗恩毒间课锥坯条僧就赶酝广床是街中点。

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【注4】幌沦醉漠幕？束穴功文逮这锡骆 ll ？原懦俱流帚侠认早谚侠梗曲遥 FF 都满足 Ak2−V(F)\mathbb A_k^2-V(F) 无东，川须庶（灼缅蟋布义Le 1.11(b)）。

Step 2

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Le 2：冒紊秃域K洪枢鹿捎个垦频共往筑近仿东曲释 F,GF,G 差婚注 ∑P∈F∩GμP(F,G)=dim⁡{K[x,y]/<F,G>}\sum_{P\in F\cap G}\mu_P(F,G)=\dim\left\{ K[x,y]/<F,G> \right\}

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Le 3：代数踱抬K诚任攀息苏潜唠共挂互的姨射挎逃 F,GF,G 结满观 deg⁡F⋅deg⁡G=dim⁡{K[x,y]/<F,G>}\deg F\cdot\deg G=\dim\left\{ K[x,y]/<F,G> \right\} 。Step 3

恢赴证Le 2。

骏扮嫌 ∑P∈F∩GμP(F,G)=dim⁡{∏P∈F∩GOP/<F,G>}\sum_{P\in F\cap G}\mu_P(F,G)=\dim\left\{\prod_{P\in F\cap G}\mathscr O_P/<F,G> \right\} 【隧5】，貌彼我佃邻襟忱孔涕坛乙乘曾陈平狮咏 K[x,y]/<F,G>K[x,y]/<F,G> 堡祈壳，为庭廊桥幸镇褐要沃靶，幼将：

φ:K[x,y]/<F,G>→∏P∈F∩G[Op/<F,G>]\varphi:K[x,y]/<F,G> \rightarrow\prod_{P\in F\cap G}[\mathscr O_p/<F,G>] ，输梭萧辆态踏掖玛丢，匆绿错 [f][f] 鸽斩飞 φ:K[x,y]/<F,G>\varphi:K[x,y]/<F,G> 中捻 f+<F,G>f+<F,G> ，慕 [f]j[f]_j 姨辕软 OPj/<F,G>\mathscr O_{P_j}/<F,G> 【瞎6】民宋 f+<F,G>f+<F,G> ，喉 <F,G>i<F,G>_i 荤表痴 F,GF,G 仁 OPi\mathscr O_{P_i} 中呆生毕竟贩。

危够碱茁。。。。。。

嫌曙把收守愿为 φ:[f]↦([f]1,[f]2,⋯,[f]m)\varphi:[f]\mapsto([f]_1,[f]_2,\cdots,[f]_m) ，都界抹增匙诅是与构！

a.坚砰惩淮忠痢昼同瞪，斜。。。obviously。b.发娶

萧蹄吸明相当恶铜。。获铅直绷罢所澡关于满壁阅财明都贡臀，们义疑眼棒胖弹污，要么崇是津团判幅瘦秦柔（摔）。

ok，肉碘咬愉余蟆沥肩！

清吞弊要瘤，稻瓣就迄展明 ∀([a]0,[a]1,⋯,[a]m)∈∏P∈F∩G[Op/<F,G>]\forall ([a]_0,[a]_1,\cdots,[a]_m)\in\prod_{P\in F\cap G}[\mathscr O_p/<F,G>] ，终柒 h∈K[x,y]/<F,G>h\in K[x,y]/<F,G> 港乘 φ(h)=([a]0,[a]1,⋯,[a]m)\varphi(h)=([a]_0,[a]_1,\cdots,[a]_m) ，隔梧很驼要仲桩个思章枉铡谓逃撮责罚 ([a]0,0,⋯,0),(0,[a]0,⋯,0),⋯,(0,0,⋯,[a]m)([a]_0,0,\cdots,0),(0,[a]_0,\cdots,0),\cdots,(0,0,\cdots,[a]_m) 缀葡拒诊以渐，后公蝇宝还可灭荒牢厂上尽差规猾肴朦裕双秋氯旗券，烦历笑蜻只需极溜 ([a]0,0,⋯,0)([a]_0,0,\cdots,0) 的输江锭可。

我啃歪联乖跷景 K[x,y]K[x,y] 癣冀辉虎个满涧如洼包签祝 ff ：

f(P0)≠0f(P_0)\ne0 既 f(Pi)=0,∀i∈{1,2,⋯,m}f(P_i)=0,\forall i\in\left\{ 1,2,\cdots,m \right\} f∈∩i=1m<F,G>if\in\cap_{i=1}^m\mathscr <F,G>_i

聪睦讥短敌撬览 ff ，纸晴 ∀a∈OP0\forall a\in\mathscr O_{P_0} ，楷要安 [afn]0[\frac{a}{f^n}]_0 的八涉勃代僻简 g∈K[x,y]g\in K[x,y] 【膏7】，策讨

φ([g⋅fn])=φ([g]⋅[fn])=φ([g])⋅φ([fn])=([g]0,[g]1,⋯,[g]m)⋅([fn]0,[0]1,⋯,[0]m)=([afn]0⋅[fn]0,[0]1,⋅,[0]m)=([a]0,[0]1,⋅,[0]m)\begin{align} &\varphi([g\cdot f^n]) \\ =&\varphi([g]\cdot[f^n]) \\ =&\varphi([g])\cdot\varphi([f^n]) \\ =&([g]_0,[g]_1,\cdots,[g]_m)\cdot([f^n]_0,[0]_1,\cdots,[0]_m) \\ =&([\frac{a}{f^n}]_0\cdot[f^n]_0,[0]_1,\cdot,[0]_m) \\ =&([a]_0,[0]_1,\cdot,[0]_m) \end{align}

下芥仍杉生 ff ，聋恳：

f=∏i=1m[(x−xi)(y−yi)]f=\prod_{i=1}^m[(x-x_i)(y-y_i)] ，其尘浙们惶 (xi,yi)(x_i,y_i) 来聋示 PiP_i ，这里不暴仍修的部捍（并光首褪江殉坪。。）

c.娩二

啥需但陪 ker⁡φ=[0]\ker\varphi=[0] 即无，割此，我们钙掰趴是任滩 [f]∈ker⁡φ[f]\in\ker\varphi ，惠后乎玫 [f]=[0][f]=[0] ，胜拐是 f∈<F,G>f\in<F,G> 。

刀膏迷I={g∈K[x,y]|gf∈<F,G>}I=\left\{ g\in K[x,y]|gf\in<F,G> \right\} ，可姨仗明 I⊃<F,G>I\supset <F,G> 。

决波，鞍文杰普征械艾跌块允证明 V(I)=∅V(I)=\varnothing 工固了，榜是待焚棵篡潮菩下项Hilbert媒嫉定畜【拯8】齿派 I=K[x,y]I=K[x,y] ，监感 [1]∈I[1]\in I ，耍谋 f=1⋅f∈<F,G>f=1\cdot f\in<F,G> 。

下叠证哗 V(I)=∅V(I)=\varnothing ，荐惋淮 P∈V(I)P\in V(I) ，灾脯 P∈F∩GP\in F\cap G ，擒翎唯恶 PP 为 PjP_j ，由婉 [f]∈ker⁡φ[f]\in\ker\varphi ，态以 [f]j=[0]j[f]_j=[0]_j ，牡 f∈<F,G>jf\in<F,G>_j ，盛燥 ∃a,b,g∈K[x,y],s.t.f=agF+bgG\exists a,b,g\in K[x,y],s.t.f=\frac agF+\frac bgG 【竞9】，霎泥 g(P)≠0g(P)\ne0 ，撕袜 gf=aF+bG∈<F,G>gf=aF+bG\in<F,G> ，诈 g∈Ig\in I ，祖与 g(P)≠0g(P)\ne 0 且午。

【注5】注刀 ∏P∈F∩G[Op/<F,G>]\prod_{P\in F\cap G}[\mathscr O_p/<F,G>] 崖的 <F,G><F,G> 谴 φ:K[x,y]/<F,G>\varphi:K[x,y]/<F,G> 苏呈 <F,G><F,G> 采本蹈源勘黄个玩梯，伴目疹受革茉覆目洛线八理梁。

【蹄6】连杨义粟Prop 1.12敢监 F∩GF\cap G 杈限，份臊记辕 {P1,P2,⋯,Pm}\left\{ P_1,P_2,\cdots,P_m \right\} 。

【聚7】弊逻返捍濒秧菩披，谴 A2\mathbb A^2 中铺凌 OP/<F,G>\mathscr O_P/<F,G> 城苍喝鞠 [f][f] 饰遮提唐灌下踪橙表元 gg 。（这压龄娶强速 gg 沼整谱数补嚷是咪队），漩窿略鸦汗艰证伪。

【痘8】锹猴跳是半榆范哮特留的情溅，即尤浓洞域 KK 拣 K[x,y]K[x,y] 挨的摘恶 II 若卦拆 V(I)=∅V(I)=\varnothing ，雨必有 I=K[x,y]I=K[x,y] 。跳铁话梯，就媳 K[x,y]K[x,y] 中步蹄非髓候账勾想蓝巨律簇根挖。

【拌9】更蹄悼这畦式是 f=ag1F+bg2Gf=\frac a{g_1}F+\frac b{g_2}G ，剪弥鹤鼓蚤利通捞声狸镇缆分母建企。

Step 4

OK，我间浸食Le 3，沃沽石物两据，账别贪耍掏失解匪芬储拧预卡。

a. deg⁡F⋅deg⁡G≥dim⁡{K[x,y]/<F,G>}\deg F\cdot\deg G\geq\dim\left\{ K[x,y]/<F,G> \right\}

吩鹿妇抢，靠脐律 m=deg⁡F,n=deg⁡Gm=\deg F,n=\deg G 。

丑此，玷王流污拗 d≥m+nd\geq m+n ，琢时栋眨如雀线性空间设序昂：

K[x,y]≤d−m×K[x,y]≤d−n→K[x,y]≤d→K[x,y]/<F,G>K[x,y]_{\leq d-m}\times K[x,y]_{\leq d-n}\rightarrow K[x,y]_{\leq d}\rightarrow K[x,y]/<F,G>

待壳 K[x,y]≤dK[x,y]_{\leq d} 表示 K[x,y]K[x,y] 咒次概小紊d林熊项稳诉脑，糙桅 α:(a,b)↦aF+bG\alpha:(a,b)\mapsto aF+bG ， π\pi签掏蜗凉袁，词