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射影几何的产生与发展

发布时间：2024-10-07 点击量：

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射影几何产生的历史背景

1566年，科曼迪诺（F，Commandino，1509年-1575年）把阿波罗尼奥斯fApollonius）的《圆锥曲线论》的前四卷译成拉丁文，引起了数学家们对几何的关注，在短短几十年的时间里，人们便突破了传统几何的局限，创立了一门崭新的学科——射影几何。射影几何起源于透视法，而当时透视法主要应用于绘画，为了能在画布上画出大自然的真实样子，人们就需要解决一个数学问题：如何把三维的现实世界反映到二维的画布上，意大利的建筑师、数学家阿尔贝蒂（L，B，Alberti，1404年-1472年）认真考虑了这一问题，他在1435年写成的《论绘画》（1511年出版）一书中作了具体的阐述：在眼睛和景物之间插进一张直立的玻璃板，设光线从眼睛出发射到景物的每一个点上，这些线叫投影线，设想每根线与玻璃板交于一点，这些点的集合叫做截景，显然，截景给眼睛的印象和景物本身一样，所以要画出一个逼真的画作，就要在玻璃板（实际是画布）上获得一个真正的截景。

例如，人眼在O处观察水平面上的矩形ABCD（图1）时，从O到矩形各点的连线形成一个投影棱锥，其中OA、OB、OC、OD是四根典型的投影线，若在人眼和矩形间插入一个平面，并连结四条线与平面的交点A’、B’、C’、D’，则四边形A’B’C’D’为矩形ABCD的截景，由于截景对人眼产生的视觉印象和原矩形一样，它们必然有相同之处，但从直观上看，截景和原形既不全等又不相似，也不会有相同的面积，截景甚至并非是矩形，那么，截景与原形究竟有什么共性呢？这正是阿尔贝蒂苦苦思索，却未找到答案的问题。阿尔贝蒂还考虑到：如果在眼睛和景物之间插进两张玻璃板，它们上面的截景将是不同的;如果从两个不同位置来观察景物，截景也将是不同的，但所有截景都反映同一景物，它们之间必然存在某种关系，于是他进一步提出问题：同一景物的任意两个截景间有什么数学关系？或者说有什么共同的特点？他留给后人的这些问题成为射影几何研究的出发点。

射影几何的发展

德扎格创立了射影几何射影几何的创始人是法国的建筑师德扎格（G，De-sargues，1591年-1661年），1639年，他发表了一本重要著作《试论圆锥与平面相交结果》，这部书推动了19世纪射影几何的蓬勃发展，被公认为是这一学科的经典著作，这本书在发表之初，没有受到数学家们的重视，德扎格把书印了50份，分送给他的朋友，但不久这些书便全部散失了，直到1845年，沙勒（M，Chasles，1793年1880年）才偶然发现了一个手抄本，波德（N，G，Pou-dral将其复制，使德扎格有关射影几何的成果重新出现在公众的视野当中，1950年，这部书的原版本终于在巴黎被发现，并得以复制发行。为什么德扎格的书在当时被忽略呢？主要有两个原因，一是它被差不多同时出现的解析几何掩盖了它的光芒，笛卡儿的解析几何是用代数方法研究几何问题，可以迅速得到数量的结果，而射影几何主要是研究几何的定性，由于当时的技术发展更需要解析几何这样的有力工具，所以解析几何更受欢迎，第二个原因是，德扎格的写作形式比较古怪，他引进了70个新术语，其中很多是从植物学中借用的，例如，他用棕（Palm）、干、树来表示三种不同性质的直线，这类语句极不易理解，除了笛卡儿、帕斯卡、费马等几位大数学家外，很少有人欣赏他的著作。德扎格数学思想的出色之处，首先在于他引进了无穷远点和无穷远线，阿尔贝蒂曾指出，画面上的平行线应交于一点，除非它们平行于玻璃板（如图1）例如，图1中的B’C’和A’D’便相交于某点O’，这一点不和BC或AD上任何普通的点对应，所以叫没影点，而除O’外的直线B’C’或A’D’上的任何点，都对应着BC或AD上某个确定的点，为了使B’c’与BC上的点以及A’D’与AD上的点有完全的对应关系，德扎格在AD及BC上引入一个新的点，叫做无穷远点，把它看作两平行线的公共点，所有平行于BC的直线都交于这一点，方向不同于BC的另外一组平行线，则有另外一个公共的无穷远点，由于平行线组的数目是无穷的，德扎格实际是在平面上引入了无穷多的新点，他假定所有这些点都在同一直线上，而这条直线则对应于截景上的水平线或没影线（即图1中的OO’），以这种新规定为前提，我们就可以断言“平面上任意两直线必交于一点”了，因为不平行线交于普通点而平行线交于无穷远点。

在引入了无穷远点和无穷远线后，德扎格研究了这样的问题：设有点O（图2）及三角形ABC，则OB、OC、OA可看作三条投影线，ABC的一个截景为ABC’，其中A与A’对应，B与B对应，C与C’对应，显然，AA’、BB’和CC交于一点O，设AB与A’B’交于Q，AC与AC交于P，BC和BC交于R，德扎格证明了：Q、P、R必在一条直线上，这就是著名的德扎格定理：若两个三角形对应顶点连线共点，则对应边交点共线，不管两个三角形是否在同一平面，定理都是成立的，其逆定理也同样成立，德扎格在书中对二维和三维空间中的正、逆定理都作了证明。在深入研究投影性质的基础上，德扎格终于回答了阿尔贝蒂之前就提出的问题：同一实物的两个截景间有什么数学关系？这实质是—个投影下的不变性问题。德扎格把他的射影幾何思想用于圆锥曲线，并得到了许多新的结果：直线可以看作具有无限长半径的圆的一部分;焦点相合的椭圆可退化为圆;焦点之一在无穷远的椭圆是一抛物线;等等，他不再把圆锥曲线看作圆锥与平面的交线，而是将其理解为圆的截景，圆不仅可以变换为椭圆，而且可以变换为开口的抛物线或双曲线，该曲线仍看作封闭的，只不过是一个点在无穷远而已德扎格力图用投射、截景等射影几何概念统一处理各种圆锥曲线，从而为圆锥曲线的研究开辟了广阔的前景，德扎格便将投影法推广到一般圆锥曲线，因为圆的截景可以是任意的圆锥曲线，而对合关系在投影后是不变的，从而揭示了圆锥曲线的一个重要性质。帕斯卡有关射影几何的研究成果帕斯卡（B，Pascal，1623年-1662年）是德扎格的学生，也是一位了不起的数学天才，他在微积分、概率、代数、射影几何等方面都作出了引人注目的贡献。14岁时，帕斯卡参加了巴黎数学家的每周聚会，在德扎格的影响下，逐渐对德扎格的射影几何思想产生了兴趣，他尝试用射影法研究二次曲线，并在1639年写下了一本约八页的小册子《略论圆锥曲线》，笛卡儿看过以后，给予了高度的评价，遗憾的是這本书不久便失传了，直到1779年才被重新发现。

帕斯卡的书中最著名的结果是下述定理：若一个六边形内接于一圆锥曲线，则每两条对边相交而得的三点在同一直线上，如图3.P、Q及R在同一直线上，若六边形的对边两两平行，则P、Q、R在无穷远线上，该定理被后人称为帕斯卡定理，在射影几何里是十分重要的。帕斯卡首先证明了该定理对圆成立，然后用投影法研究一般的圆锥曲线，若从上图平面外的一点作它的投射锥并取一截景，则截景必含一圆锥曲线及内接六边形，六边形的对边仍将交于一条直线上的三点，这条直线与PQR相对应，该定理确定了圆锥曲线上六个点的射影相关性，如果已知六个点中的五个，就能确定一条圆锥曲线，这个定理是射影几何中内容最丰富的定理之一，由它出发可以导出大量推论，例如：（1）如果一个三角形内接于一圆锥曲线，则其顶点上的切线与对边交于三个共线点，（2）若五边形ABCDE内接于一圆锥曲线，则AB、DE;BC、EA;CD与A点上的切线交于三个共线点，（3）内接于一圆锥曲线的四边形的两对对边，连同对着的顶点的两对切线，交于四个共线点，帕斯卡定理的逆定理：若一个六边形的三对对边的三个交点共线，则六边形顶点在一圆锥曲线上，也是成立的，但帕斯卡没有考虑过。

射影几何中的新思想

伴随着射影几何的诞生，一些新的数学思想出现了，开普勒（J，Kepler）在1604年出版的《天文学的光学部分》中提出：将椭圆的一个焦点固定而让另一个焦点在它们的连线上移动，若动点移向无穷远，椭圆成为抛物线;若这个动焦点又出现在定焦点的另一方，抛物线就变成双曲线;当两焦点合而为一，椭圆变成圆，而双曲线的两焦点合在一起时，双曲线便退化为两直线，德扎格则采用更为有效的方法——投射取截法来实现二次曲线的连续变化，只要改变截景平面的位置，就可使圆的截景从圆连续变为椭圆、抛物线以及双曲线，因此，对于圆成立的许多性质，都可通过取截景的方法来证明它们对其他二次曲线也成立，这就为后来数学家的研究提供了一种相当一般的简便方法。从射影几何中产生的另一个新思想是变换和不变性，从某点向一图形作投影线，然后取截景，这就是把原图形变成了新的图形，而原图形中值得研究的性质是变换后保持不变的一些性质，这种变换思想不仅导致了另一门新学科——仿射几何的诞生，而且当人们用变换与不变性的观点来重新研究欧氏几何时，发现了三种几何的本质联系及从属关系，实际上，射影几何包含了仿射几何，而仿射几何包含了欧氏几何。虽然射影几何方面的工作最初是为了给画家提供方便，但它的意义远不止于此，在当时，它由于解析几何的发展而略显失色，甚至一度被人们遗忘，但到19世纪被人们重新发现时，德扎格和帕斯卡等人的杰出思想终于大放异彩，射影几何作为一个着重研究图形位置和相交方面性质的学科，终于成熟了。

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