空间几何专题复习二-----空间中点线面的位置关系

各位同学大家好，今天我们继续来复习空间几何大专题的第二个部分：空间中点线面的位置关系。

该部分知识点中涉及到的性质定理比较多，在历年高考的空间几何大题中必然会考察到的就是对线面面面平行或垂直的证明类问题，所以熟练掌握并能灵活运用这些定理和性质至关重要。

好，让我们来一起看一下这部分的详细知识点

第一讲　空间中点、直线、平面之间的位置关系

知识点一　平面的基本性质

※推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．

※推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．

※推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．

(1)证明点共面或线共面的常用方法

①直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．

②同一法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．

③辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．

(2)证明空间点共线问题的方法

①公理法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上．

②同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．

(3)证明三线共点的方法

先选取两线交于一点，再证明该点在第三线上即可．

知识点二　空间点、直线、平面之间的位置关系

知识点三　异面直线所成角、平行公理及等角定理

1、异面直线所成的角

(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫作异面直线a与b所成的角．

(2)范围：(00，900]．

注意：异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”

异面直线的判定方法

(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．

(2)判定定理法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．

求两条异面直线所成角的方法与步骤

(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．

(2)求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解．

2、平行公理

公理四：平行于同一条直线的两条直线平行．

3、等角定理

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

即：若OA∥O1A1，OB∥O1B1，则∠AOB＝∠A1O1B1或∠AOB＋∠A1O1B1＝180°.

第二讲直线平面平行的判定与性质

1．判断或证明线面平行的常用方法有：

①利用线面平行的定义(无公共点)；

②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；

③利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；

④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．

2．线面平行性质定理的应用

转化为该线与过该线的一个平面与该平面的交线平行．

证明面面平行的方法有

(1)面面平行的定义；

(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；

(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；

(4)如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；

(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．

平行中的探索性问题

(1)对命题条件的探索常采用以下三种方法：

①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；

②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；

③把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件．

(2)对命题结论的探索常采用以下方法：

首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论，就肯定假设，如果得到了矛盾的结论，就否定假设．

在涉及到平行类的问题中我们需要注意以下三点：

(1)在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误；

(2)在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”；

(3)解题中注意符号语言的规范应用．

第三讲直线平面垂直的判定与性质

直线与平面所成的角

(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角．

若直线与平面平行或直线在平面内，直线与平面所成角为0°，若直线与平面垂直，直线与平面所成角为900

(2)线面角θ的范围：θ∈[00，900]．

二面角的有关概念

(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．

(2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．

与线面垂直关系有关命题真假的判断方法

(1)借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准，甚至无需作图在头脑中形成图象来判断．

(2)寻找反例，只要存在反例，那么结论就不正确．

(3)反复验证所有可能的情况，必要时要运用判定或性质定理进行简单说明．

证明线线垂直的常用方法

(1)利用特殊图形中的垂直关系．

(2)利用等腰三角形底边中线的性质．

(3)利用勾股定理的逆定理．

(4)利用直线与平面垂直的性质.

证明线面垂直的方法

①  线面垂直的定义：a与α内任何直线都垂直⇒a⊥α；

②  判定定理1：⇒l⊥α；

③  判定定理2：a∥b，a⊥α⇒b⊥α；

④  面面平行的性质：α∥β，a⊥α⇒a⊥β；

⑤  面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β．

证明面面垂直的常用方法

①  利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；

②  判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β．

在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．

已知两个平面垂直时，过其中一个平面内的一点作交线的垂线，则由面面垂直的性质定理可得此直线垂直于另一个平面，于是面面垂直转化为线面垂直，由此得出结论：两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面．

以棱柱或棱锥为载体，综合考查直线与平面的平行、垂直关系是高考的一个重点内容．解决这类问题时，核心是熟练掌握平行、垂直等的判定定理以及性质定理，通过不断利用这些定理，进行平行与垂直关系的转化，证得问题结论．

平面图形翻折为空间图形问题的关键是看翻折前后线面位置关系的变化，这些不变的和变化的反映了翻折后的空间图形的结构特征，特别是翻折前的线线垂直、线面垂直、面面垂直在翻折后是否发生了变化，是否还保持垂直．根据翻折的过程把翻折前的一些线线位置关系中没有变化的和发生变化的了解清楚，这是解决翻折问题的关键．

空间作图主要根据平面的几个公理和空间线面位置关系的定理进行的，作图时要在分析清楚线面位置关系的基础上有根据地进行．

第四讲　空间向量及其运算(理)

知识点一　空间向量的有关概念

1．空间向量的有关概念

(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做向量的长度或模．

(2)相等向量：方向相同且模相等的向量．

(3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．

(4)共面向量：平行于同一平面的向量叫做共面向量．

2．空间向量中的有关定理

(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在唯一确定的λ∈R，使a＝λb．

(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．

(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底．

3．两个向量的数量积

(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

(2)空间向量数量积的运算律

①  结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；

②  交换律：a·b＝b·a；

③  分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c．

向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．

知识点二　空间向量的坐标表示及其应用

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).

 (1)用基向量表示指定向量的方法

用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知基向量表示出来．

(2)向量加法的多边形法则

首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则．

提醒：空间向量的坐标运算类似于平面向量中的坐标运算．      

利用空间向量的坐标运算解题是高考立体几何大题的必考内容，而寻求三条两两互相垂直的直线建立空间直角坐标系是解题的突破口．

第五讲立体几何中的向量方法(理)

知识点一　利用空间向量求空间角

1．两条异面直线所成的角

(1)范围：两条异面直线所成的角θ的取值范围是 (00，900]．

(2)向量求法：

设异面直线a，b的方向向量为a，b，直线a与b的夹角为θ，a与b的夹角为φ，则有cosθ＝|cosφ|．

2．直线与平面所成的角

(1)范围：直线和平面所成的角θ的取值范围是[00，900]．

(2)向量求法：

设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为θ，a与u的夹角为φ，则有sinθ＝|cosφ|或cosθ＝sinφ．

3．二面角

(1)二面角的取值范围是[0，π]．

(2)向量求法：

若AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB与CD的夹角(如图①)．

设n1，n2分别是二面角α－l－β的两个面α，β的法向量，则图②中向量n1与n2的夹角的补角的大小就是二面角的平面角的大小；而图③中向量n1与n2的夹角的大小就是二面角的平面角的大小．即

图②取“－”号，图③取“＋”号(同向取“－”异向取“＋”简记为“同负异正”)．

知识点二　利用空间向量求距离

1．两点间的距离

设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则

2．点到平面的距离

如图，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为

向量法求异面直线所成的角的方法

(1)基向量法：利用线性运算．

(2)坐标法：利用坐标运算．

注意：向量法求异面直线所成角与向量夹角的区别，尤其是取值范围．

向量法求线面角的两大途径

①分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)．

②通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．

提醒：在求平面的法向量时，若能找出平面的垂线，则垂线上取两个点可构成一个法向量．

利用平面的法向量求线面角时的注意点

①求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角即为所求．

②若求线面角的余弦值，要注意利用平方关系sin2θ＋cos2θ＝1求出其值．不要误以为直线的方向向量与平面的法向量所夹角的余弦值为所求．

利用向量法确定二面角大小的常用方法

①找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．

②找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．

向量法应用(二面角大小(范围))的技巧

建立恰当的空间直角坐标系，将两平面的法向量用与待求相关的参数(字母)表示，利用两向量的夹角公式构建方程或不等式或函数，进而求解．

求平面α外一点P到平面α的距离的步骤

(1)求平面α的法向量n；

(2)在平面α内取一点A，确定向量的坐标；

(3)代入公式求解．

[点拨]空间中的距离问题一般都可以转化成点到点的距离、点到线的距离和点到面的距离．其中点到点的距离、点到线的距离可用空间向量的模来求解，点到面的距离可借助于平面的法向量求解．

探索性问题的求解策略

(1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等．

(2)对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数．

最后，在本节我们需要注意以下三点：

1.利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间角．因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同．

2．求点到平面的距离，有时利用等体积法求解可能更方便．

3．求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角．