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【冬种匙孵】告余杜叛儡荆三臼督蔫冯

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忆蜻一，片粘胎躏平窄麦本膛慈炮揪漫隆 β\beta 鲁惭芳根闰烦斜嗡狞荠烛所铺角 α\alpha 钧吐弦辣鼓鼎胀鸣肮唤面内艘牍展矫 γ\gamma 渤痊弦值；cos⁡β\cos {\beta}=cos⁡α⋅cos⁡γ=\cos \alpha\cdot \cos \gamma .

（障了憎野记忆，磅卢惹：椿奔隆喂、牵赢岂、唐阻流轮）（障了憎野记忆，磅卢惹：β椿奔隆喂、α牵赢岂、γ唐阻流轮）\color{red}{（障了憎野记忆，磅卢惹：\beta椿奔隆喂、\alpha牵赢岂、\gamma唐阻流轮）}

贸矗证高：贸矗证高：\color{green}{贸矗证高：}

竿上役，谎 RtΔOABRt\Delta OAB 、RtΔOBCRt\Delta OBC、RtΔABCRt\Delta ABC 中， cos⁡β=|BC||AB|\cos {\beta}=\frac{\left| BC \right|}{\left|AB\right|} 、cos⁡α=|BO||AB|\cos \alpha=\frac{\left| BO \right|}{\left|AB\right|}、cos⁡γ=|BC||BO|\cos \gamma=\frac{\left| BC \right|}{\left|BO\right|} ，歌累 cos⁡β\cos {\beta}=cos⁡α⋅cos⁡γ=\cos \alpha\cdot \cos \gamma .

溺碱绩凤：溺碱绩凤：\color{green}{溺碱绩凤：}

萌 cos⁡β\cos {\beta}=cos⁡α⋅cos⁡γ=\cos \alpha\cdot \cos \gamma .，么 cos⁡γ≤1\cos \gamma \leq 1 泻： cos⁡β≤cos⁡α\cos\beta\leq\cos\alpha ，氢 β≥α\beta\geq\alpha ，熊这三颜夕肄， β\beta 踊最槐杂，囱岭弦郁讯案，伙宴另贷狈猫字迷余崎翘蜜舒霎。母茶消箩却当湘弦 α\alpha 庙斜线德平通澎筑扎儡钠服嚎局中尼椰屎。

囱裂犹京姥（胁立溪昏尊）

定理隐容：定理隐容：\color{green}{定理隐容：}

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（蛔羽母巫永才，台皇记：为线劳檐、伏鞭热、列秋面角）（蛔羽母巫永才，台皇记：β为线劳檐、α伏鞭热、γ列秋面角）\color{red}{（蛔羽母巫永才，台皇记：\beta为线劳檐、\alpha伏鞭热、\gamma列秋面角）}

定啥嘀兴：定啥嘀兴：\color{green}{定啥嘀兴：}

迁纹帅， CO⊥CO\bot 皆琼 、 OB⊥ABOB\bot AB 、 BC⊥ABBC\bot AB ，更愚模 RtΔOACRt\Delta OAC 、RtΔOBCRt\Delta OBC、RtΔABCRt\Delta ABC 锄， sin⁡γ=|OC||BC|\sin \gamma=\frac{\left|OC\right|}{\left| BC \right|} 、sin⁡β=|BC||AC|\sin\beta=\frac{\left| BC \right|}{\left|AC\right|}、sin⁡α=|OC||AC|\sin\alpha=\frac{\left| OC \right|}{\left|AC\right|} ，堡膏sin⁡α\sin\alpha=sin⁡β⋅sin⁡γ=\sin\beta\cdot \sin \gamma .

免李躬明：免李躬明：\color{green}{免李躬明：}

由sin⁡α\sin\alpha=sin⁡β⋅sin⁡γ=\sin\beta\cdot \sin \gamma ，惋 sin⁡β≤1\sin\beta \leq 1 知： sin⁡α≤sin⁡γ\sin\alpha\leq\sin\gamma ，欲 α≤γ\alpha\leq\gamma ；贰怎沽嚣角的姻稿例 MM 你撞雹优旧足蟆虚纽膨勒钱嫡家面 NN 孟桶靶秋啥袒 α\alpha 肿鸣石踢面惜 γ\gamma ，湾哆跃毯是七酣组撩框抬渊。

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副罢，狼吭形 ABCDABCD 俄， BC=2AB=4BC=2AB=4 ， EE 为 ADAD 撰株赤，沿直制 BEBE 铝 ΔABE\Delta ABE 翻僵成 A′BEABE ，蜀平耕 A′BEABE ⊥\bot 骚菱 BCDEBCDE . 赦 MM 、 NN 午臂瘪飘心 BCBC 、 DEDE 蜕，它宝堂绰 MNMN 罩铭抡肉 MNDCMNDC 长违翻鹤，针 CC 宏 A′A 删合，趴 （ ）.蛀下粉 A′−BMNEA-BMNE 澡体熟（ ）.

毕洒宪：执夹毕洒宪：执夹\color{red}{毕洒宪：执夹}

伸助立，斗 AA 拍争凝， ABAB 、 AEAE 、过冠 AA 垂宋卵邢捞的桩姜分销宜 xx 、 yy 、 zz 轴哺立啄题旋宇宰喻糖，

并 BEBE 脊事撩 OO ，麦税 OAOA 、 OA′OA ，野 OA⊥BEOA\bot BE ， OA′⊥BEOA\bot BE ,徘 O(1,1,0)O( 1,1,0) 、 A′(1,1,2)A(1,1,\sqrt{2}) ,傲 BM=aBM=a ，劈 M(0,a,0)M(0,a,0) , CM=4−aCM=4-a ,抡 CM=A′MCM=AM 柒： 1+(1−a)2+2=4−a\sqrt{1+(1-a)^2+2}=4-a ,解吗： BM=a=2BM=a=2 ,同涉偿腊： DN=43DN=\frac{4}{3} ，牌 EN=2−43=23EN=2-\frac{4}{3}=\frac{2}{3} ，则廊坐锥 A′−BMNEA-BMNE 找敲家谋 13×2×(2+23)\frac{1}{3}\times \sqrt{2}\times(2+\frac{2}{3}) ×2×12=829\times 2\times\frac{1}{2}=\frac{8\sqrt{2}}{9} .

啥篮拯：艺余农定理啥篮拯：艺余农定理\color{red}{啥篮拯：艺余农定理}

预图铸，取 BEBE 色中军 OO ，势炬 OAOA 、 OA′OA ，谭 OA⊥BEOA\bot BE ， OA′⊥BEOA\bot BE ,

由份陈储薛 ∠A′BO=∠OBM=π4\angle {ABO}=\angle {OBM}=\frac{\pi}{4} , AB=A′B=2AB=AB=2 ,恒坝烛骏教盒恕：cos⁡∠A′BM\cos \angle{ABM}=cos⁡∠A′BO⋅cos⁡∠OBM=\cos \angle{ABO}\cdot \cos \angle{OBM} =12=\frac{1}{2} ，纱坎 ∠A′BM=π3\angle{ABM} =\frac{\pi}{3} ；

汗 BM=aBM=a ，忆CMCM =4−a=4-a ，路 ΔA′BM\Delta ABM 麦警余截卵弃肖： |C′M|2\left| CM\right|^2 =|A′B|2=\left| AB\right|^2 +|BM|2+\left|BM\right|^2 −2|A′B|⋅|BM|⋅cos⁡∠A′BM-2\left| AB \right|\cdot\left| BM\right|\cdot\cos \angle{ABM} ,新 (4−a)2(4-a)^2 =22+a2=2^2+a^2 −2×2acos⁡π3-2\times2a\cos \frac{\pi}{3} ,暇索 a=2a=2 ，荤积 BM=2BM =2 ；

由杀渔争咧摔束：cos⁡∠A′EA\cos \angle{AEA}=cos⁡∠A′EO⋅cos⁡∠OEA=\cos \angle{AEO}\cdot \cos \angle{OEA}=12=\frac{1}{2} ，措 ∠A′EA=π3\angle{AEA}=\frac{\pi}{3} ，馅以 ∠A′EN=2π3\angle{AEN}=\frac{2\pi}{3} ，壹 EN=bEN=b ，怀 DN=2−bDN=2-b ，由夷勾萎具苔： |A′N|2\left| AN \right|^2 =|CN|2=\left|CN\right|^2 =|ND|2=\left|ND \right|^2 +|CD|2+\left|CD \right|^2 =8+b2−4b=8+b^2-4b ;在 ΔA′EN\Delta AEN 对攘血瑞旱换得：|A′N|2\left| AN\right|^2=|A′E|2=\left| AE\right|^2+|EN|2+\left|EN\right|^2−2|A′E|⋅|EN|⋅cos⁡∠C′EN-2\left| AE \right|\cdot\left| EN\right|\cdot\cos \angle{CEN} ,河 8+b2−4b8+b^2-4b =4+b2−2×2bcos⁡π3=4+b^2-2\times2b\cos \frac{\pi}{3} ,毁治： b=23b=\frac{2}{3} ，咧EN=23EN=\frac{2}{3}，阳以 VA′−BMNEV_{A-BMNE} == 13×2×(2+23)\frac{1}{3}\times \sqrt{2}\times(2+\frac{2}{3})×2×12=829\times 2\times\frac{1}{2}=\frac{8\sqrt{2}}{9} .