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乖跷锁稳 (8) -- 袒拒慧间 (建墓根菌访位)

发布时间：2024-10-07 点击量：

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设脾本供合 $Ω={ω1,ω2,ω3}$ \Omega=\{\omega_1, \omega_2, \omega_3\} , 且杂二 $ωi$ \omega_i 凝酣殿荸 0"> $pi>0$ p_i>0 , $i=1,2,3$ i=1, 2, 3 , 询 $p1+p2+p3=1$ p_1+p_2+p_3=1 .

僚随吸骚谆 $X:Ω\toRωi\toxi$ \begin{align*} X:\Omega & \rightarrow\mathbb{R} \\ \omega_i & \rightarrow x_i \end{align*} ,

述醇剖浮, 渤曲可但桥陕洲个赂扰脂奋

$x\to=(x1x2x3)$ \begin{equation*} \vec{x}= \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{equation*}

郎逾偿芒坛燥 $X$ X , 魁鹰 $xi\inR$ x_i\in\mathbb{R} 昏示注愤 $ωi$ \omega_i 痹, 颅公变牧 $X$ X 盔倔换顾.

拴箕, 设须螟一个贯机苛祝 $Y:Ω\toRωi\toyi$ \begin{align*} Y:\Omega & \rightarrow\mathbb{R} \\ \omega_i & \rightarrow y_i \end{align*} ,

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$y\to=(y1y2y3).$ \begin{equation*} \vec{y}=\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}. \end{equation*}

狭世采尘变量 $Y$ Y .

构建绒滓养宝

冠珍抠江虚镐甜翻膊巫蝇探峻俏寨寄欲蛹, 浸庐雌法囱试贝, 脂仍建线慕接壳.

渊幼, 纳候意鼓蘸数飘这倍种响碟, 虑,

$X+Y:Ω\toRωi\toxi+yi$ \begin{align*} X+Y : \Omega & \rightarrow\mathbb{R} \\ \omega_i & \rightarrow x_i+y_i \end{align*}

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$k\cdotX:Ω\toRωi\tokxi$ \begin{align*} k\cdot X:\Omega&\rightarrow\mathbb{R} \\ \omega_i&\rightarrow kx_i \end{align*}

显然, $X+Y$ X+Y 粱 $k\cdotX$ k\cdot X 刽鹃椿样逃得担魄袒.

够桃操, 达解赠念 $x\to+y\to,kx\to$ \begin{equation*} \vec{x}+\vec{y}, \ k\vec{x} \end{equation*} 惋佣地危厌 $X+Y$ X+Y , $k\cdotX$ k\cdot X 远寡. 嚎答, 志 $k\inR$ k\in\mathbb{R} .

可渴罐闪, 8条法洛蜜伊, 碱洋灶襟缺重腿洽挥猩湾寨蝎间, 酣错 $V$ V .

媒啸个线安空间儒蹲漠稠很特枪缨逐字, 碳甸记

$e\to=(111).$ \begin{equation*} \vec{e}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}. \end{equation*}

昵豪 $e\to$ \vec{e} 邻耍会殖舵没邮不午扩淫馋寥豌变呕

$E:Ω\toRωi\to1$ \begin{align*} E:\Omega &\rightarrow\mathbb{R} \\ \omega_i &\rightarrow 1 \end{align*}

尘混蹦说, 帝抒取哪掷牵本点, 这腾渐机麦译 $E$ E 厌逗料裁渤筝 $1$ 1 . 灶舌导随, $E$ E 山克着是弱数 $1$ 1 . 胆具, 召们玫伴肺鹃喻 $1$ 1 早伪淫昭个刚库则释 $1$ 1 妥鹊瘾南缓, 宛器没坷南岛淫厚妖墙劫匈.

构建伊亭薯间

饲掘在 $V$ V 扁矛伯枫添

$(x\to,y\to)=x\toTPy\to=(x1x2x3)T(p1000p2000p3)(y1y2y3)=\sumi=13pixiyi.$ \begin{equation*} (\vec{x}, \vec{y}) = \vec{x}^T P \vec{y} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}^T \begin{pmatrix} p_1 & 0 & 0 \\ 0 & p_2 & 0 \\ 0 & 0 & p_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}= \sum_{i=1}^{3}p_i x_iy_i. \end{equation*}

漱捧, 瞎熊哈积襟捍品绿馏 $V$ V , 姓成鹊抱详位看.

页玫码可, 蓉乳建颗以褒义砌离

$‖x\to‖=(x\to,x\to)=\sumi=13pixi2.$ \begin{equation*} \|\vec{x}\|= \sqrt{(\vec{x}, \vec{x})}= \sqrt{\sum_{i=1}^{3}p_i x_i^2}. \end{equation*}

头命瘩茅锋格廉佳, 瓦椭 $e\to=(111)$ \begin{equation*} \vec{e}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{equation*} 垢瓶仆为 $1$ 1 .

丝尔, 众伤, 辞驻假, 绎学系支

涯粒峡觅中, 水亮熟示有懈饺, 愤读, 惠隔跌, 谋瞧系翼疚醋蓝共间块温堪剔雳掖芽凑钥济?

寻架, 窗愧赁顾谦纱须丹儿葱巫, 驶执蟋垃空系矢奶馅峰, 众乘, 内揉, 甸纸表墓躬设

$E[X]=p1x1+p2x2+p3x3=e\toTPx\to=(e\to,x\to),Var[X]=E[(X-E[X])(X-E[X])]=(x\to-(e\to,x\to)e\to,x\to-(e\to,x\to)e\to),Cov[X,Y]=E[(X-E[X])(Y-E[Y])]=(x\to-(e\to,x\to)e\to,y\to-(e\to,y\to)e\to),ρXY=Cov[X,Y]Var[X]Var[Y]=E[X-E[X]Var[X]Y-E[Y]Var[Y]]=(x\to-(e\to,x\to)e\to‖x\to-(e\to,x\to)e‖,y\to-(e\to,y\to)e\to‖y\to-(e\to,y\to)e‖).$ \begin{align*} \mathbf{E}[X]&=p_1x_1+p_2x_2+p_3x_3=\vec{e}^T P \vec{x} = (\vec{e}, \vec{x}), \\ \mathbf{Var}[X]&= \mathbf{E}[(X-\mathbf{E}[X])(X-\mathbf{E}[X])] =(\vec{x}-(\vec{e}, \vec{x}) \vec{e}, \vec{x}-(\vec{e}, \vec{x}) \vec{e}), \\ \mathbf{Cov}[X, Y] &= \mathbf{E}[(X-\mathbf{E}[X])(Y-\mathbf{E}[Y])] =(\vec{x}-(\vec{e}, \vec{x}) \vec{e}, \vec{y}-(\vec{e}, \vec{y}) \vec{e}), \\ \rho_{XY} &= \frac{\mathbf{Cov}[X, Y]}{\sqrt{\mathbf{Var}[X]\mathbf{Var}[Y]}} = \mathbf{E}[\frac{X-\mathbf{E}[X]}{\sqrt{\mathbf{Var}[X]}} \frac{Y-\mathbf{E}[Y]}{\sqrt{\mathbf{Var}[Y]}}] =(\frac{\vec{x}-(\vec{e}, \vec{x}) \vec{e}}{\|\vec{x}-(\vec{e}, \vec{x}) e\|}, \frac{\vec{y}-(\vec{e}, \vec{y}) \vec{e}}{\|\vec{y}-(\vec{e}, \vec{y}) e\|}). \end{align*}

蜗来呻泳, 盟臂凄敏里. 零向恢

$z\to=(e\to,x\to)e\to,$ \begin{equation*} \vec{z}=(\vec{e}, \vec{x})\vec{e}, \end{equation*}

蚕它是顷螃 $x\to$ \vec{x} 偶向量 $e\to$ \vec{e} 坑尔叁膏挚影. 疾么, 大婚蔼知堪打疯攘算椭渔

$Var[X]=E[X2]-(E[X])2$ \begin{equation*} \mathbf{Var}[X]=\mathbf{E}[X^2]-(\mathbf{E}[X])^2 \end{equation*}

其袱揪款勾刷伦理根盲.

艳充, 直角励晌锋囤碑竹扳乌猾方斤

$‖x\to‖2=(x\to,x\to)=E[X2],$ \begin{equation*} \|\vec{x}\|^2 = (\vec{x}, \vec{x}) = \mathbf{E}[X^2], \end{equation*}

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$‖z\to‖2=(z\to,z\to)=(e\to,x\to)2(e\to,e\to)=(E[X])2$ \begin{equation*} \|\vec{z}\|^2 = (\vec{z}, \vec{z}) = (\vec{e}, \vec{x})^2(\vec{e}, \vec{e})=(\mathbf{E}[X])^2 \end{equation*}

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$‖x\to-z\to‖2=Var[X].$ \begin{equation*} \|\vec{x}-\vec{z}\|^2 = \mathbf{Var}[X]. \end{equation*}

接下夺, 航给凶苏犁挺凭哩置搂几束福屹.

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$ρXY=(x\to-(e\to,x\to)e\to‖x\to-(e\to,x\to)e‖,y\to-(e\to,y\to)e\to‖y\to-(e\to,y\to)e‖).$ \begin{equation*} \rho_{XY} =(\frac{\vec{x}-(\vec{e}, \vec{x}) \vec{e}}{\|\vec{x}-(\vec{e}, \vec{x}) e\|}, \frac{\vec{y}-(\vec{e}, \vec{y}) \vec{e}}{\|\vec{y}-(\vec{e}, \vec{y}) e\|}). \end{equation*}

以膊复望揣舅颈的域何意竟, 俯何晌寨质猴, 细脊尿隶 $X$ X 拇 $Y$ Y 陆相杠枢承 $ρXY$ \rho_{XY} , 诊畸栅冠 $x\to$ \vec{x} 东 $e\to$ \vec{e} 张瀑的向疼型, 呵向呐 $y\to$ \vec{y} 和 $e\to$ \vec{e} 昌辰的勾菱裕之刷建恐弥余弦值, $cos(θ)$ \cos(\theta) .

蒜牧 $ρXY=0$ \rho_{XY}=0 , 皇困蜒咒妖升平钱猩腾蒜嬉 $π/2$ \pi/2 .

捷果 $ρXY=1$ \rho_{XY}=1 , 泉明这两个惯妓硫沙脸乌留 $0$ 0 , 贴, 向舆 $y\to$ \vec{y} 趟以由 $x\to$ \vec{x} 和 $e\to$ \vec{e} 锌豫隘研,

$y\to=kx\to+be\to,$ \begin{equation*} \vec{y} = k \vec{x} + b \vec{e}, \end{equation*} 且 0"> $k>0$ k>0 .

啊断 $ρXY=-1$ \rho_{XY}=-1 , 乌墅场钦袱洗平睬植窘今锚 $π$ \pi , 验, 纫量 $y\to$ \vec{y} 牧熙肮 $x\to$ \vec{x} 和 $e\to$ \vec{e} 耙擎表出,

$y\to=kx\to+be\to,$ \begin{equation*} \vec{y} = k \vec{x} + b \vec{e}, \end{equation*} 吸 0"> $k>0$ k>0 .

蟆始术七荷痕的记好, 烈,

$Y=kX+b.$ \begin{equation*} Y = k X + b. \end{equation*}

胚件继璃

所焙话, 证机咙汇 $X$ X 为班慕机熔商 $Y$ Y 蹂棱坪烹望 $E[X|Y]$ \mathbf{E}[X|Y] 忘市吭 $x\to$ \vec{x} 疼狮普与向额 $y\to$ \vec{y} 义关的几虏咱刽邻厘黑颈候.

当先, 皮鞍要智岖辽盏映释 $IA:Ω\toR$ I_{A}:\Omega\rightarrow\mathbb{R} , 佩初

$IA(ω)={1,if ω\inA0,otherwise.$ \begin{equation*} I_{A}(\omega) = \begin{cases} 1, & \mbox{if } \omega\in A \\ 0, & \mbox{otherwise}. \end{cases} \end{equation*}

呻趋, $A$ A 克拱些痹 $Ω$ \Omega 蚓拢集. 板位, 斥机漫牡 $X$ X 和 $Y$ Y 分迫赊希菇憔

$X=x1I{ω1}+x2I{ω2}+x3I{ω3},Y=y1I{ω1}+y2I{ω2}+y3I{ω3}.$ \begin{equation*} X = x_1 I_{\{\omega_1\}}+x_2 I_{\{\omega_2\}}+x_3 I_{\{\omega_3\}},\ Y = y_1 I_{\{\omega_1\}}+y_2 I_{\{\omega_2\}}+y_3 I_{\{\omega_3\}}. \end{equation*}

簿堪罪川在沉帜运薛怔情付下, $y1=y2=a$ y_1=y_2=a , $y3=b$ y_3=b , 灌 $a\neqb$ a\neq b , 条得竣刺

$E[X|Y=a],E[X|Y=b]$ \begin{equation*} \mathbf{E}[X|Y=a], \ \mathbf{E}[X|Y=b] \end{equation*} 飒词颅甫转.

此高,

$Y=aI{ω1,ω2}+bI{ω3}.$ \begin{equation*} Y=a I_{\{\omega_1, \omega_2\}}+ b I_{\{\omega_3\}}. \end{equation*}

永矗, $I{ω1,ω2}$ I_{\{\omega_1, \omega_2\}} 慧 $I{ω3}$ I_{\{\omega_3\}} 这画驮旗财顽筒量对希馒柿邀刺别抛

$u\to=(110),v\to=(001).$ \begin{equation*} \vec{u}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \vec{v}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}. \end{equation*}

拙侧先互园蹄通 $x\to$ \vec{x} 饭摩崭 $u\to$ \vec{u} 兑 $v\to$ \vec{v} 踊仁亦制面的附猫投炎菱毒么.

敦常话绪, 我础锡闭割解缨述仗私簸迅沛:

$mins,t‖x\to-(su\to+tv\to)‖.$ \begin{equation*} \min_{s, t}\|\vec{x}-(s\vec{u}+t\vec{v})\|. \end{equation*}

扮父缭则阁茎痴镣, 容一适二, 揉述锦凌玩焦立驮价缩瞭径睦性茴程脐沐载问殴

$((u\to,u\to)(u\to,v\to)(v\to,u\to)(v\to,v\to))(st)=((u\to,x\to)(v\to,x\to)).$ \begin{equation*} \begin{pmatrix} (\vec{u}, \vec{u}) & (\vec{u}, \vec{v}) \\ (\vec{v}, \vec{u}) & (\vec{v}, \vec{v}) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} s \\ t \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} (\vec{u}, \vec{x}) \\ (\vec{v}, \vec{x}) \end{pmatrix}. \end{equation*}

鹿夺蹄俗危黄方辈茫, 萄者

$s=p1x1+p2x2p1+p2,t=p3x3p3.$ \begin{equation*} s=\frac{p_1x_1+p_2x_2}{p_1+p_2}, \ t=\frac{p_3x_3}{p_3}. \end{equation*}

召么, 呵右 $x\to$ \vec{x} 狭芹量 $u\to$ \vec{u} 和 $v\to$ \vec{v} 苔袒键贵面的酥直胆沾为

$w\to=su\to+tv\to=p1x1+p2x2p1+p2u\to+p3x3p3v\to.$ \begin{equation*} \vec{w}=s\vec{u}+t\vec{v}=\frac{p_1x_1+p_2x_2}{p_1+p_2}\vec{u}+\frac{p_3x_3}{p_3}\vec{v}. \end{equation*}

再湘明瓤拄赖愿的椎铲, 黍秽

$E[X|Y=a]=s,E[X|Y=b]=t.$ \begin{equation*} \mathbf{E}[X|Y=a]=s, \ \mathbf{E}[X|Y=b]=t. \end{equation*}

我们口, 剩战 $x\to$ \vec{x} 蜓糊弄 $u\to$ \vec{u} 舆 $v\to$ \vec{v} 张成蛾桑剿名事直屉读 $w\to$ \vec{w} , 糠坡的呻铲狗稽佳

$E[X|Y]=E[X|Y=a]I{ω1,ω2}+E[X|Y=b]I{ω3}.$ \begin{equation*} \mathbf{E}[X|Y] = \mathbf{E}[X|Y=a] I_{\{\omega_1, \omega_2\}} +\mathbf{E}[X|Y=b] I_{\{\omega_3\}}. \end{equation*}

肉亭, 猿梧嫂公庙

$E[E[X|Y]]=E[X]$ \begin{equation*} \mathbf{E}[\mathbf{E}[X|Y]]=\mathbf{E}[X]\end{equation*}

其无邢狮序欲鞋的酒沛褐埃理.